수학적 증명 방법 공부 - 0

수학을 전공하려는 목적이라면 더 상세하고 꼼꼼하게 공부해야 하겠지만, 지식의 축적이나 확장 수준에서 시작하는 공부이기 때문에, 강의 노트를 살펴보고, 비슷한 책의 관련된 내용들을 가져와서 살펴보겠다.

 

• https://monks.scranton.edu/math299/

Ken Monks | Professor of Mathematics

여기에 있는 강의 노트를 중심으로 "BOOK OF PROOF"  (link) 를 참조해서 정리하려고 한다. 

 

강의 노트 목차는 아래와 같다. 

 

0 Introduction
1 What is a proof?

  1.1 Formal Proof Systems
  1.2 Environments and Statements
2 The Language of Mathematics 

 2.1 Identifiers, Variables, and Constants
 2.2 Expressions and Statements 
 2.3 Substitution and Lambda Expressions
3 Rules of Inference in Mathematics

 3.1 Template Notation for Rules of Inference
4 Propositional Logic 

 4.1 The Statements of Propositional Logic
 4.2 The Rules of Propositional Logic
 4.3 Formal Proof Style
5 Predicate Logic

 5.1 Quantifiers
 5.2 Statements
 5.3 Declarations
 5.4 Rules of Inference
 5.5 Equality

 

6 Proof Shortcuts and Semiformal Proofs 

 6.1 Use Theorems as Rules of Inference
 6.2 Substitute Logically Equivalent Expressions
 6.3 Use Famous Logic Theorems Freely
 6.4 Identify Certain Statements
 6.5 Skip Some Logical Rules of Inference
 6.6 Omit Most Premise Citations, Line Labels, and End-of-Subproof Symbols 
 6.7 Eliminate Extra Parentheses for Associative Binary Operators
 6.8 Combine consecutive ∀+ rules 
 6.9 Use Transitive Chains! 
 6.10 Use Derived Rules of Inference 

 

7 The Natural Numbers

 7.1 The Peano Postulates
 7.2 Strong Induction
 7.3 Number Theory
 7.4 Applications: Cardinal and Ordinal Numbers

8 Sequences

 8.1 Finite and Infinite Sequences
 8.2 Representations of Sequences
 8.3 Reindexing
 8.4 Recursive Definitions and Sequences

9 Integer, Rational, and Real Numbers

 9.1 Notation
 9.2 The Axioms for Real Numbers
 9.3 Basic Properties of Real Numbers
 9.4 Integers
 9.5 Extending Definitions
 9.6 Infinite Series and Decimal Representation

 

10 Sets, Functions, Numbers

 10.1 Basic Definitions from Set theory
 10.2 Shortcuts involving sets
 10.3 Famous Sets of Numbers
 10.4 Functions
 10.5 Relations

 

11 Expository Proofs

 11.1 Traditional Proofs
 11.2 Specific Rules for Mathematical Writing
 11.3 Notation
 11.4 Syntax
 11.5 Equations and Formulas
 11.6 Writing Technique
 11.7 Mathematical Typesetting

 

12 Combinatorial Proofs
 12.1 Combinatorics
 12.2 Combinatorical Collections and Expressions
 12.3 Combinatorial Proofs
 12.4 Combinatorial subtraction, division, and inequality

 

다른 강의 목차들을 참고하면, 많은 경우에 Set theory 에서 시작하는데, 이 강의에서는 증명 방법 자체에 대한 용어에 대한 부분으로 시작하고, 집합에 대한 내용은 후반부에 나온다. 다만, 수학적인 증명이 잘 보이는 기학학에 관련된 부분이 없는데, 이 부분을 보충하기 위해서, 기학학 정리와 관련된 문제들을 찾아서 같이 연결해서 살펴보려고 한다.  목표한 일정은 일주일에 한번정도 페이지를 정리해보려고 생각하는데, chapter 5 까지 내용을 정리해서 2~3회차로 정리하고, 6~12 까지는 한 chapter를 1~2회차로 정리할 생각이다. 여기에 기하학에 대한 내용들을 약간 보충하려고 한다. 전체 11~14회차로 정리할 수 있을 것으로 생각한다. 목표대로 진행한다면 8월까지 진행하면 마무리 할 수 있을 것 같다. 

 

- 내용을 잘 정리할 수 있다면, 간단한 tex 파일로 만드는 것도 생각하고 있다.

 

유튜브에 나와 있는 수학적 증명 과정을 볼 수 있는 링크 : https://youtu.be/DuJRlr2JfUY