수학적 증명 방법 공부 - 2

3 수학에서의 추론 규칙 (Rules of Inference in Mathematics)
3.1 추론 규칙을 위한 템플릿 표기법 (Template Notation for Rules of Inference)

Rule Name Here 
- P1 (show) 
- . . .
- Pk (show) 
- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
- Q1 (conclude)
- . . . 
- Qn (conclude)

전제(P1, . . . . Pk) 및 결론(Q1, . . . Qn)을 갖는 추론 규칙은 다음과 같이 표현될 수 있습니다
(P1, . . . , Pk ⊢ Q)

Proof by Cases
- W or V (show) 
- Assume W 
- U (show) 
- ←
- Assume V 
- U (show) 
- ← 
- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
- U (conclude)

4 명제 논리  
4.1 명제 논리의 진술
정의. φ, ψ를 참/거짓을 알 수 있는 명제라고 하면'¬φ', 'φ and ψ', 'φ or ψ', 'φ⇒ψ', 'ψ⇔φ'의 다섯 가지 논리연산 값도 결정됩니다. 

 

- Atomic Statements 는 논리연산을 포함하지 않습니다. 
- Compound Statements 는 명제들의 논리연산의 형태로 표현할 수 있습니다. 

4.2 명제 논리의  규칙 
연역법은 정의에 대한 '더하기'와 '빼기' 규칙을 정의합니다. 
- '더하기' 규칙 : and+, or+, ⇒+, ⇔+, not+ (proof by contradiction)
- '빼기'  규칙 : and-, or-, ⇒-, ⇔-, not− (proof by contradiction)

4.3 Formal Proof Style
Example 7. Let P and Q be statements. Prove the following case of DeMorgan’s Law, namely that 

 

¬P or ¬Q⇒ ¬(P and Q)

Proof.

• Assume ¬P or ¬Q -
  • Assume ¬P -
    • Assume P and Q -
    • P by and−
    • →← by →←+
    • ←
  • ¬(P and Q) by not+ 
  • ← -
• ¬P⇒ ¬(P and Q) by ⇒+;
  • Assume ¬Q -
    • Assume P and Q -
      • Q by and −
      • →← by →←+
      • ← -
    • ¬(P and Q) by not+;
    • ← -
• ¬Q⇒ ¬(P and Q) by ⇒+
  • ¬(P and Q) by or−
  • ← -
• ¬P or ¬Q ⇒ ¬(P and Q) by ⇒ +

φ	ψ	¬φ'	'φ and ψ',	'φ or ψ	φ⇒ψ	ψ⇔φ
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

 

기본문장(atomic expression)과 복합문장(compound expression) 사이의 관계를 증명에서 이용할 때 확인할 내용들에 대한 안내이다.