USAMO vs USACO III

미국에서 USAMO 준비는 다음 책들이 일종의 교과서처럼 사용된다.

 

For AMC10/AMC12 

Introduction-level

- Prealgebra
- Introduction to Algebra
- Introduction to Geometry
- Introduction to Number Theory
- Introduction to Counting & Probability

Intermediate-level 
- Intermediate Algebra
- Intermediate Counting & Probability

 

Intermediate 시리즈는 제외하고 Problem Solving V1 을 보는 경우도 많다.

 

For AIME

the Art of Problem Solving Volume 1: the Basics
the Art of Problem Solving Volume 2: and Beyond

 

For USAMO or higher

How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author)   
The Art and Craft of Problem Solving by Paul Zeitz (Author) 
How to Solve It: Modern Heuristics by Zbigniew Michalewicz (Author), David B. Fogel  (Author) 
Problem-Solving Strategies by Arthur Engel  (Author) 

 

영역별 이론 참고 도서들 

102 Combinatorial Problems by Titu Andreescu  (Author), Zuming Feng  (Author)
103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu  (Author), Zuming Feng  (Author)
104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu  (Author), Dorin Andrica  (Author, Contributor), Zuming Feng  (Author)  
105 Algebra Problems from the AwesomeMath Summer Program by Titu Andreescu 
106 Geometry Problems from the AwesomeMath Summer Program by Titu Andreescu  (Author), Michal Rolinek  (Author), Josef Tkadlec  (Author)

여기에 소개된 책들이외에도 많은 국제대회, 국가대회들의 문제들과 표준 답안들이 있으므로, 그런 문제들을 이용해서 공부를 하게된다. AoPS ( link ), AwesomeMath ( link)를 찾아보면 더 많은 정보들을 얻을 수 있다.

 

앞쪽에 나와있는 AoPS에서 나온 책들은 단원별로 간단한 이론 설명이 있고, 해당하는 문제들이 있다. 대부분의 문제는 이론의 이해수준을 평가하기 위한 문제들이고, 과거 competition에 나왔던 문제들이나, 변형 문제돌이다.  AoPS 의 온라인 수업도 있고, 이런 교재들이 이용해서 설명하는 After school 프로그램들도 있다. 

 

조기교육 혹은 선행학습이라는 형태로 요즘은 아주 빠른 나이에 준비를 시작해서, 학교에서 진행하는 수학과는 별개로 준비를 하는 경우가 많다. 빠른 경우는 초등학교 저학년부터 시작하기도 하지만, 보통은 5~6학년에 시작해서 9~10학년쯤 마무리하는 경우가 보통이다. 대략 소요시간은 introduction series - 1년6개월~2년, AIME-1년, 그 다음 단계는 할 수 있는 만큼이라고들 한다.  여기서 말하는 AIME 전까지의 기본적인 과정만 잘 끝내도 일반적인 고등학교 2학년 수준까지 마무리하기 때문에 많이 참가하는 지도 모른다. 대회 성적이 만족스럽지 않아도, 일반적인 수학 선행학습으로 생각하고 몇년간 진행하는 것이다.

 

시험을 위해서 준비하는 훈련의 난이도는 자기가 준비하는 한단계 앞정도까지만을 권장한다. 어려운 난이도의 문제들은 일정 수준의 이론배경이 없으면 답안을 읽고 이해하기도 힘들기 때문에, 충분한 이론 학습이 되기 전에는 진행이 불가능하다. 그러므로, 다른 여러가지 공부와 마찬가지로 자기의 현재 수준에 대한 정확한 인지가 필요하고, 자기의 수준에 맞는 문제들이나 그것보다 조금 어려운 내용을 가지고 지속적으로 훈련하도록 한다. 

 

혹시, 어려운 난이도의 문제가 궁금한 사람들을 위해서, 2018년 short list problem (link) 를 적는다. 이 문제들은 2018년 imo 대회를 위해서 참가국들에서 제출한 문제들을 모아둔 것이고, 다음해 imo 대회에서 공개된다.  관련된 자료로는 INFINITY (link) 가 있다.

 

5~6학년에 시작해서 일주일에 10시간정도의 시간을 지속적으로 투여할때 10학년 혹은 11학년에는 달성할 수 있는 정도가 관심이 있는 사람이 훈련으로 가능한 수준의 한계라고 생각한다. 그리고, 그 수준은 AIME qualified가 될것이다. 누구에게나 시간이라는 자원은 항상 부족한 것이고, 수학공부에서 요구하는 몰입 수준을 생각한다면, 적어도 4~5년동안 거의 매일 한시간 이상의 시간을 투여한다는 것은 누구에게나 가능은 하지만 누구나 할 수는 없는 일이다. 지속과 몰입을 양립시키면서, 긴 시간동안 학습을 계속 할 수 있다면, 그 과정 자체가 훌륭한 성취라고 믿는다.

 

충분한 몰입과 훈련이 있다면, 학교 교과과정에 있는 수학이론들은 충분히 빠른 시간에 살펴볼 수 있는 것은 사실이다. 자기 주도학습으로 속도를 빨리해서 일반적인 수학이론을 쌓는 방법으로 일반 교과과정을 마무리 한다면 좋은 방향이라고 생각한다. 하지만, 학원이나 개인 교습의 형태로 교재 학습 속도만을 빨리하고 일반적인 문제 풀이를 반복하는 방법으로 진행하는 것은 시험을 잘 보기 위해서 준비하는 방법이지, 생각하는 방법을 훈련하는 것과는 거리가 있다.

 

수학적인 감각이나 문제풀이 방법은 꼭 어려운 수학문제를 푸는 것으로만 가능한 것은 아니다. 생각하는 방법이기 때문에 쉽고 단순한 문제들도 그 문제를 충분히 이해했다면, 그 문제를 약간 확장하거나 다른 풀이 방법을 찾아 보는 것으로도 전혀 다른 방향으로 진행될 수 있다. 피타고라스 정리를 확장했을 때가 궁금해서 적었던 메모가, Fermat's Last Theorem이 된것은 너무 유명한 것인지도 모른다.  

 

개인적으로 거의 10년 이상 올림피아드의 경향이나 문제들에 대해서 살펴보지 않았기 때문에, 이 자료의 정확도에 대해서 확신하기는 힘들지만, 최근에 찾아본 자료들에서 나오는 얘기도 아주 달라지지는 않은 것 같다. 다만, USAMO 나 그 이상의 수준의 문제들에 적용되는 이론들이 과거보다 많이 심화되고 어려워진것은 확실하다.

 

공부의 방법은 여러가지가 있겠지만, 여기서 논의하는 것은 USAMO라는 대회에 초점을 맞추고 설명한다. 어떤 시험을 준비하기 위해서 제일 기초적이고 중요한 부분은 과거에 출제된 문제들에 대한 분석이다. 필요한 이론 공부는 당연한 준비과정의 일부가 되야한다. 이런 기본적인 내용은 제외하고, 몇가지를 정리해본다.

 

1. Validation of every step 

2. If you can't solve a problem now, you need to check a problem type.

   - Lack of knowledge or Don't get the main idea of a problem

3. Recognize current level

   - I know vs I think I know

4. If you feel burn-out, take enough rest. 

5. Time scheduling

  - If you can assign an hour per each day, only plan for 40 minutes not an hour and a half.

6. If you skip a certain topic, you should remember the gap to fill.  

7. Don't hold a hard problem longer than a certain amount of time.

  - the expected time (problem # / test period) * N, ex) 5 min -> not exceed 20 min, N = 3

 

Time assign

• Learning Theory : 1
• Problem Solving : 2
• Review Problem solving : 2
• Learning Other's idea : 1
• Review other's idea : 2 
  • analyze the tackling idea: agreeable, new, need to understand
  • Point to extend or another way to tackle